5.o Libros de matemáticas

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5.1 El hombre que calculaba
EL HOMBRE QUE CALCULABA

RESUMEN

Un día el bagdali de nombre Hank Tad-Madya volvía de una excursión con su camelo de Samarra, cuando vio sentado en una piedra a un viajero que descansaba, lo que le llamo la atención fue cuando este se paraba y decía números con cifras muy largas, se acerco y le pregunto que se debía y q significaba, el viajero le dijo que como le había preguntado con mucho respeto le iba contar la historia de su vida,

Comenzó diciendo su nombre se llamaba Beremis Samir, nació en Khoy en Persia y que contaba desde que trabajaba con rebaños contándolos después contaba bandadas de pájaros y así fue desarrollando mas esa habilidad, lo contrataron para q contaras dátiles estuvo en ese trabajo diez años y ahora el patrón le había dado algunos menses d vacaciones y que ahora se iba a visitar a unos parientes en Bagdad.

Beremis acompaño al bagdali se subió en su camello y se fue con el, en el camino se encontraron con unos chicos que discutían la herencia de su padre eran 35 camellos de las cuales para el mayor era la mitad, para el segundo la tercera parte y para el ultimo la novena parte, Beremis los ayuda dándoles el camello que tenían, ya que ahora eran 36 y entonces comenzó a repartir al final sobro dos camello del cual uno era el que les presto y el otro se lo quedo por ayudarlos a resolver su problema.

Días después se encontraron en el camino a un herido de nombre Salem Nasari, era un negociante millonario de Bagdad les pregunto si tenían algo de comer y ellos dijeron que tenían 8 piezas de pan, el les dijo que por cada pieza de pan que se comiera les daría una moneda de oro y así fue cuando llegaron asu palacio les pago las piezas del pan.

Beremis fue invitado a ejercer el cargo de secretario del visir Ibraim Maluf.

Luego llegaron a una posada “Patito Dorado”en los alrededores de la Mezquita de Solemon vendieron los camellos y Salim dueño de la posada le pide ayuda a Beremis porque tenia un problema con un joyero y no sabia como resolverlo.

Fueron a visitar a Maluf a su residencia y les presentaron a un poeta Lezid Abul Hamid quien le pido que contara unos camellos y se quedo asombrado porque en poco tiempo saco que los camellos eran 257 y saco esta cifra contando las patas y las orejas dividiéndolas entre seis todos se quedaron asombrados.

Le piden a Beremis que se quede y dice que solo acepta si su amigo se puede quedar también y aceptan.

Un día el poeta Lezid-Abud-Hamid le pidió un favor a Beremis consistía en que debería enseñarle matemática a su hija telassim ya que cuando ella nació el oráculo le decía q viviría feliz hasta los 18 a los y que después vendrían desgracias lamentables, la forma de evitar la desdicha era aprender las operaciones, propiedades de los números etc el único inconveniente era que Telassim vivía encerrada y que nunca había sido visitada por hombres extraños a su familia y le debería dar las clases por medio de una cortina y vigilada por 2 esclavas Beremis acepta la tarea de enseñar matemática sin ningún inconveniente.

En el salón donde se encontraba Beremiz estaban unas bailarinas gemelas Tabessan y Iclimia, a las cuales Beremiz les contó las franjas de sus trajes para saber quien es quien entonces les contaron las franjas para ver si era verdad y comprobaron que si una tenia 312 y la otra 309 una ves mas Beremiz dejo admirados a todos con sus cálculos.

Beremiz descubre el misterio de el cuadro mágico buscándole nuevas soluciones y como no se quedo conforme con la solución original, y basándose del cuadro mágico le comenta a sus amigos la historia del ajedrez que se trataba acerca de un rey que en la guerra de su país matan a su hijo y quedando desconsolado, hasta que un día llego un chico llamado Sessa que le llevo un juego al que le llamaba ajedrez, y le comenzó a enseñar al rey, este aprendió y como forma de pago por haberle enseñando le dio granos de trigo pero como no pudo cumplir con lo acordado lo nombro su ministro.

El califa Al-Motacen le gusto la historia, y mando a escribirla en hojas de pergamino y luego Beremiz se retiro de la Sala de Audiencia.

Cuatros días después, por la mañana les informaron que se serian recibidos por el Califa Abul -Aabas Al Motacen Billaah, vicario de Alah.

Pues tenia curiosidad de conocer al hombre que calculaba, se sorprendieron al entrar al palacio, les llamo la atención lo mosaicos que estaban formados por fragmentos de loza blanca y bermeja.

Les presentaron a unos amigos Uno de ellos le pregunto sobre la contribución de la ciencia hindú hacia la matemática y él respondió con mencionando a Pitágoras y su Teorema, la Aritmética. Después de esa reunión Beremis fue a darle la segunda clase a Telassim.

La Fama de Beremis aumento considerablemente en la humilde fonda en la que Vivian,. Mucha gente lo iba a ver atendía mucha consultas y daba muchos consejos, a todos os ayudaba con paciencia y bondad, les aclaraba las dudas, daba consejos, procuraba destruir creencias y supersticiones de los mediocres e ignorantes

No pudo ir a la tercera clase de matemática, cuando en eso aparece el visir Ibraim Maluf con un problema y quería q Beremis lo ayudara a resolverlo: uno de los presos que estaba condenado a cadena perpetua y querían cumplir la sentencia del contrabandista Sanadique ya que , se le redujo su condena a la mitad, y el visir no sabia como resolverlo. Beremis lo resolvió por medio de una ecuación.

Asan Maurique jefe de guardianes del sultán tenia un problema: quería saber si era bella la mujer con la que quería casarse, se llamaba Zaira. Beremiz le hizo un calculo matemático muy impresionante y le dijo q si era bella, es increíble q con la matemática se pueda saber si es bella o fea la mujer por medio de las “Formulas matemáticas de la belleza”. Esa medidas tomadas en le interior del harem fueron entregadas al pretendiente, Beremis aplico las formulas y calculo el siguiente resultado: Zaira es linda como la tercera hurí del cielo de Alah.

Tara-tir lo quería matar y Beremis estaba un poco preocupado una noche lo vieron merodeando donde vivía Beremis con tres sicarios.

La prueba más grande fue la que le hicieron al final. En secreto, llevaron a los 7 más sabios para que examinaran al calculador. Le prometieron que si ganaba todas las pruebas le darían lo que quisiera. Lezid le dio un anillo que le había obsequiado un príncipe y que había dejado perdido en las clases que le daba Telassim dentro de una cajita con una nota dirigida a Beremis dándole ánimos para la ultima prueba que le estaban poniendo los sabios.

El primer sabio le dice a Beremis que diga 15 referencias del libro sagrado del Coran y en vez de decir solo 15 dice 16 y quedaron satisfechos ya que fue hecho sin le menor error.

El segundo era u historiador le pregunto sobre la historia dela matemática

El tercero era un astrónomo le pregunto si es posible que en matemática,¿ deducir una regla falsa de una propiedad verdadera? Y Beremis una vez resolvió el problema el astrónomo quedo asombrado y dije que nunca había oído sobre lo importante cuestión de la “falsa inducción matemática”.

Y así los sabios fueron interrogando a Beremis y él supo responderles cada problema perfectamente con mucha creatividad y quedaron satisfechos.

Por lo tanto, tenía derecho a pedir lo que quisiera, un castillo, dinero, poder, lo que fuera. Sin embargo, Beremis pidió a Telassim, su alumna, como esposa. Nadie se opuso pero ahora faltaba una prueba adicional que le pusieron para que se casaran con Telassim consistía en: Tenían 5 hermosas esclavas, dos de ellas tiene los ojos negros y las otras tres azules. Las dos esclavas de ojos negros dicen siempre la verdad y por lo contrario las de ojos azules siempre mienten, bien todas tendrán el rostro cubierto por un veo oscuro, tendrás que descubrir cuales son las jovencitas de ojos negros y de ojos azules de las cuales se te permitirá interrogar solo a tres y podras hacerle solo una pregunta.

Empecé con la primera de la cual le pregunto que color eran sus ojos y esta le respondido en otro idioma. A La segunda le pregunto ¿Cuál fue la respuesta de tu compañera? Esta dijo que sus ojos son azules, a la tercera le pregunto ¿ de que color son los ojos de esas dos jóvenes que acabo de interrogar? Respondió la primera tiene los ojos negros y la segunda los ojos azules. El se quedo con la duda hasta que por fin le encontró la solución al problema le dijo que la primera tenia los ojos, la segunda ojos azules la tercera negros y las dos ultimas azules, Beremis acertó de nuevo todos se quedaron admirados y se preguntaban como lo había resuelto.

La historia termina en que los invasores destruyen la ciudad de Bagdad, Lezid el poeta para de Telassim muere combatiendo junto al puente de Solimán, El califa Al motacen se entrego como prisionero fue degollado, la ciudad fue saqueada y arrasada , quedo en ruinas.

Beremis y Telassim se fueron para Constantinopla tres años antes de que Bagdad fuera destruida Allí vivieron felices y Beremiz descubrió la verdadera felicidad al abandonar la religión musulmana convirtiéndose cristiano, gracias a Telassim.




ACERTIJOS

Acertijo1

Habían tres hermanos que querían repartirse la herencia de su padre, les había dejado 35 camellos de los cuales el mayor recibiría la mitad, el segundo la tercera parte y el tercero la novena parte.

Entonces Beremiz los ayudo a resolver el problema, dijo es muy facil.

Beremiz les dio el camello que tenia ahora tenía 36 ahora podía hacer una división exacta de los camellos:

La mitad de 36 es 18

La tercera parte de 36 es 12

La novena parte de 36 es 4

Luego continuo diciendo:

18 camellos al primero, al segundo 12 y al tercero (18+12+4)= 34 camellos. De los 36 camellos sobran 2, uno es el que pertenece a mi amigo y el otro me toca a mi, por derecho y por haber resuelto todo el problema de la herencia, este resultado proviene de la suma de ½+1/3+1/9=17/18 menos que la unidad, de modo que le reparto de lo 35 camelos no se hubiera hecho por completo hubiera sobrado 1/8 camellos.

Habiendo aumentado el dividendo a 36, el sobrante resulto entonces 1/18 de 36 o sea de los 2 camellos.


Acertijo2

Cada pan que me coma se las pagare con una moneda de oro

¿ Cómo justificas, extranjero tan disparatada forma de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes ¿Porque exiges 7 monedas? Y si tu amigo contribuyo con 3 panes ¿Por qué afirmas que debes recibir únicamente una moneda?

Voy a probarlo que la división de las monedas, propuesta por mí, es mas justa y mas exacta. Cada pan de la caja que sacábamos lo partíamos en 3 trozos, todos los panes que eran 8 fueron divididos de la misma forma: Yo tenia 5 panes di 15 pedazos y mi compañero que tenia 3 panes dio 9 pedazos, en total habían 24 pedazos de los cuales cada uno de nosotros comió 8 pedazos. Ahora bien si de mis 15 pedazos, comí 8, di en realidad 7; y mi compañero, que tenia 9 pedazos al comerse 8 solo dio 1. Los que di yo ymi compañero son los que Salen Nasair se comió: por consiguiente es justo que yo reciba 7 monedas y mi compañero 1. No hay duda.

Acertijo3

Ese hombre vino desde Siria a vender joyas en Bagdad, prometiéndome pagar por el hospedaje 20 dracmas si vendía las joyas por 100 dracmas, pagándome 35 si los vendía por 200. Vendió todo en 140 dracmas.

¿Cuánto debo pagar, en consecuencia, atendiéndose a lo coinvenido, por concepto del hospedaje?

Debo pagar apenas 24 dracmas y medio, si vendiendo 200 pagarias 35 vendiendo 140 debo pagar 24 y medio.

Proporción establecida por el joyero:

200 : 35 :: 140 : x


x = 35 x 140 = 24.5

200

Esta equivocado, por mis cálculos son 28 vea usted: si por 100 debía pagar 20, por 140 debo recibir 28.

Proporción establecida por el joyero:

100 : 20 :: 140 : x


x= 20 x 140 = 28

100

Yo aclaro el caso del siguiente modo: 20 dracmas si vendiese las joyas por 100, y se vería obligado a pagar 35 si las vendiese en 200. Tenemos así:

Precio de venta

200..............................................................................35

100...............................................................................20

100 15

la diferencia de 100 en el precio de venta, corresponde una diferencia de 15 en el precio del hospedaje. Si un acrecentamiento de 100 en la venta produce un aumento de 15 en el hospedaje, un acrecentamiento de 40( que es lo dos quintos de 100) debe producir un aumento de 6( que es los dos quinto de 15) a favor del posadero. E l pago que corresponde a los 140 dracmas es, pues, 20 mas 6, o sea, 26.

Proporción establecida por Beremiz

100 : 15 : : 40 : x


x = 15 x 40 = 6

100

Observamos que para una venta de 200 el pago era 35, es decir el 17.5% del precio de venta, y que para una venta de 100 el pago era de20, es decir el 20% del precio de venta. Para cada unidad de aumento en la venta corresponde una disminución en el pago, de un (20-17.5):100% = 0.025%: Para 40 de aumento en la venta corresponderá, pues una disminución en el pago, de un 0.025 x 40 = 1%

El pago que corresponde a 140 es ; pues , el 20 -1 = 19% del precio , ósea, 140 x 19 : =26. 6.

Acertijo 4:

Cuéntame que el rey Salomón, para asegurar la base de su felicidad, dio a la reina de Saba- la famosa Balkis -una caja con 529 perlas.

Es precisamente 529 el cuadrado de 23, que eral a edad de la reina. El numero 256 presenta, no Obstante gran ventaja sobre 529. Si sumamos los guarismo de 256 obtenemos 13m que elevado al cuadrado da 169; la suma de las cifras de este número es 16, cuyo cuadrado nos reproduce, precisamente, 256. Por ese motivo los calculistas llaman reversible al numero 256. Existe, pues entre números 13 y 16 curiosa relación. Que podría ser llamada”amistad cuadrática”. Realmente, si los números hablasen, podríamos oír la siguiente conversación:

El 16 diría al 13:

“Quiero ofrecerte mi homenaje, amigo. Mi Cuadrado es 256, cuya suma de guarismos es 13”.

El trece respondería:

“Agradezco tu bondad y quiero retribuirla en la misma forma. Mi cuadrado es 169, cuta suma de guarismos es 16”

Acertijo 5:

Quiero formar el numero cero. Nada hay más simple basta escribir:

44 - 44

Pasemos ahora él numero 1. Esta es la forma más cómoda:

44

44

Quiero ver ahora el numero 2 Fácilmente se usan los cuatro cuartos escribiendo:

4 + 4

4

El 3 es mas fácil todavía .Basta escribir la expresión:

4 + 4 + 4

4

Rapare en que la suma 12 dividida por 4 da un cociente 3 formando por cuatro cuartos. ¿Como formareis el numero 4?

El numero 4 puede formarse de varias manera:

+ 4 - 4

4

El numero 5. No hay dificultad:

4 x 4 + 4

4

Enseguida pasamos al 6:

4 + 4 + 4

4

Una pequeña alteración de la expresión anterior la convierte en 7:

44 - 4

4

Y de manera mas simple logramos el 8:

+ 4 + 4 - 4

El nueve no deja de ser interesante:

44 - 4

4
Vocabulario
Almojarife: Oficial o ministro real que antiguamente cuidaba de recaudar las rentas y derechos del rey, y tenía en su poder el producto de ellos como tesorero.
Árido: Seco, estéril, de poco jugo y humedad.
Banales: Trivial, común, insustancial.
Calígrafo: Persona que escribe a mano con letra excelente.
Damasco: Tela fuerte de seda o lana y con dibujos formados con el tejido.
Derviche: Entre los mahometanos, especie de monje.
Desdén: Indiferencia y despego que denotan menosprecio.
Enigma: Dicho o conjunto de palabras de sentido artificiosamente encubierto para que sea difícil entenderlo o interpretarlo.
Eximio: Muy ilustre, excelso.
Febril: Ardoroso, desasosegado, inquieto
Flagelo: Instrumento para azotar.
Hercúleo: Perteneciente o relativo a Hércules, nombre romano de Heracles.
Improperios: Injuria grave de palabra, y especialmente la que se emplea para echar a alguien en cara algo.
Lacónico: Breve, conciso, compendioso.
Proeza: Hazaña, valentía o acción valerosa.
Refección: Alimento moderado para reparar fuerzas.
Sofisma: Razón o argumento aparente con que se quiere defender o persuadir lo que es falso.
Taciturno: Callado, silencioso, que le molesta hablar
Viandante: Persona que pasa la mayor parte del tiempo por los caminos, vagabundo.
Virazon: Cambio repentino de viento.
Visir: Ministro de un soberano musulmán.
Personajes
Beremis Samir “ El Hombre que Calculaba” nació en Khoy en Persia, comunicativo interesado en resolver problemas ajeno y problemas matemáticos donde siempre demostraba la habilidad del calculo. Fue secretario de Ibram Maluf y Profesor de la Telassim su futura novia.
Hank Tad-Madya “ El Bagdali”compañero y amigo de Beremis que lo impresionaba cada vez que hacia un calculo.
Salem Nasair un comerciantes millonario de la ciudad de Bagdad.
Ibraim Maluf ministro, le dio trabajo a Beremis como secretario.
Salim Dueño de la posada “Patito Dorado”.
Lezid Abul-Hamid Poeta y papa de Telassim, amigo y confidente del califa, gano un premio por haber escrito un poema de treinta mil doscientos versos sin emplear “kaf”, “lam”, “ayu”.
Telassim Hija del poeta y futura esposa de Beremis que vivía encerrada en el Harem, esta debía aprender matemáticas antes de cumplir los 18 sino caería en desgracias, Beremis fue su profesor.
Sanadique Prisionero contrabandista condenado a cadena perpetua ya llevaba 4 años en la cárcel.
Cluzir Sha Príncipe.
Hassan Mauriuque Jefe de guardias del sultán.
Califa Al-Motacen comendador de los creyentes.
Abul -Lahabe Mercader
Zaira Hija del mercader, es hermosa.
Mohadebe Sabio.
Tara-tir primo de Lezid , envidioso rencoroso y grosero con Beremis , intenta matarlo.
Dahizé Hija única del rey Cassim.
Al-Hossein Filosofo, matemático y medico, era llamado por los árabes “El príncipe de los médicos”.
AbulHassan-Ali el tercer sabio que interroga a Beremis era Astrónomo. Era alto delgado y tenia arrugas.
Apreciación:
La obra “El hombre que calculaba” del Malba Tahan me pareció sumamente interesante y constructivo, porque plantea principios matemáticos de una forma claro y con ejemplos específicos que te hacen comprender muy bien lo que quiere explicar y sobre todo que nos dejan asombrado como este personaje puede resolver todo con el simple hecho de saber matemática para todo le encuentra una solución y da una lógica.
Aprendí mucho con este libro y más con los ejemplos, no había oído hablar de los números perfectos, los números amigos los cuatro cuartos como con un simple cuatro pueden formarse varios números y muchas otras cosas.
Lo que también me sorprendió es que cada ejercicio que hacia era con calma nunca apareció en la obra que se hubiera desesperado a todo le encontraba solución y dejaba una enseñanza como los pajaritos que soltó y le dice “Un regalo es la bendición de quien lo hace", también la manera de contar, cuando le piden que cuente los camellos y el cuenta las patas y las orejas dividiéndolas entre seis, es un poco difícil pero el lo logro y di el resultado.
El comienzo de la obra me pareció interesante, pero después se fue tornando un poco aburrido pues habían cosas que estaban de mas pero el final me pareció muy bonito, me gusto, y sobre todo que se caso sin saber como era la chica y más cuando el se convirtió a la religión cristiana después de que todo se basaban en Ala y creía en él.
Recomiendo esta obra para las personas que no les gusta las matemáticas ya que algunos les parecen muy aburridos y no saben cual es el verdadero significado de saber y comprender matemática. Esta obra nos demuestra que para todo se necesita matemática y veras de una forma divertida como resolver un ejercicio y conocerás nuevos artificios que te sorprenderán.

 

0.O ÍNDICE

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1 - Enlaces de Interés
1.1 - http://tallerdemateprofe.blogspot.com/

2 - Grandes Matemáticos
2.1 - Georg Cantor. Teoría de conjuntos

3 - Videos Matemáticos

4 - Matemáticas: Juegos, Diversiones y Curiosidades

5 - Libros de Matemáticas
5.1 El hombre que calculaba
6 - Geometría
6.1 - Poliedros. Sólidos Platónicos
6.2 - Fractales
7 - Hojas de Problemas
7.1 - Hoja de Problemas 1.2
7.2 - Hoja de Problemas 1.3
7.3 - Hoja de Problemas 2.1
8 - Matemáticas y Arte8.1 - Maurits Cornelis Escher
8.2 - Aleksandr Ródchenko
8.3 - Mosaicos y Teselaciones. Hueso Nazarí
8.4 - Fotografía Matemática
9 -matematicas y tecnologia9.1 - Telecomunicaciones
T Matemáticas y TecnologíaCP/IP, , HTTP, HTML
Vinton Cerf, Tim Berners-Lee

10 - Números Exstraordinarios10.1 - El Número de Oro φ (fi)
Relación con la serie de Fibonacci
El número áureo en la Naturaleza
El número áureo en el ser humano
El número áureo en el Arte
El número áureo en la Música

10.2 - El Número π (pi)
10.3 - El Número e

 

1. ENLACES DE INTERÉS

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10. Números extraordinarios

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Número aúreo
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Relación con la serie de Fibonacci
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: = 1.5, = 1.6, y = 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.
A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
El número áureo en la Naturaleza
Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección.En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto.
Concha de nautilus en espiral logarítmica
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:
Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros)cuyas caras son pentágonos perfectos.
Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.[3]
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una Piña.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.[4 [5] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.[6]
Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.
El número áureo en el ser humano
Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección.En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto.
La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que:
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
El número áureo en el Arte
Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección.En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto.
Hombre de Vitruvio
Leonardo da Vinci
Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Theeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.[7] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.[8] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[9]
En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).
El número áureo en la Música
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Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en . Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.
Autores como Bártok,[10] Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.
El compositor mexicano Silvestre Revuelta (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).
El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.
Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.[11]
El compositor norteamericano John Chowning basó varios aspectos de su pieza por computador Stria (1976) en la proporción áurea, proyectandola en las relaciones de tiempo y frecuencia de los elementos que componen la obra. El clímax de la obra ocurre en el punto en el que la obra se divide en dos secciones de acuerdo con la proporción áurea. El sistema que se utiliza en esta obra para organizar las alturas está basado en seudo-octavas con relación de 1:1.618, diferente de la habitual relación 1:2. El instrumento de computadora usado para la pieza, basado en síntesis por modulación de frecuencias, tiene a las relaciones entre sus osciladores con base en la misma relación.

 

9. Matematicas y tecnología

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Vinton Cerf
Vinton 'Vint' G. Cerf. científico de la computación estadounidense, considerado como uno de los 'padres' de Internet. Nacido en Connecticut (Estados Unidos) en 1943, se graduó en Matemáticas y Ciencias de la Computación en la universidad de Stanford (1965). Durante su estancia posterior en la Universidad de California (UCLA) obtuvo el Máster en Ciencia y el Doctorado.
A principios de los años 70 comenzó a trabajar con Robert Kahn en el desarrollo de un conjunto de protocolos de comunicaciones para la red militar ARPANET financiado por la agencia gubernamental DARPA. El objetivo era crear una "red de redes" que permitiera interconectar las distintas redes del Departamento de Defensa norteamericano, todas ellas de diferente tipo y funcionando sobre diferentes sistemas operativos, con independencia del tipo de conexión: radioenlaces, satélites y líneas telefónicas.
Las investigaciones, lideradas por Vinton Cerf, primero desde la Universidad de California (1967-1972) y posteriormente desde la Universidad de Stanford (1972-1976), llevaron al diseño del conjunto de protocolos que hoy son conocidos como TCP/IP (Transmission Control Protocol/Internet Protocol), que fue presentado por Vinton Cerf y Robert Kahn en 1972).
Entre 1976 y 1982, trabajando en DARPA, fue pionero en el desarrollo de la transmisión por radio y satélite de paquetes, responsable del proyecto Internet y del programa de investigación de seguridad en la red. Siempre preocupado por los problemas de conexión de redes, Cerf estableció en 1979 la Internet Configurarion Control Board (que posteriormente se denominó Internet Activities Board) y fue su primer presidente.
Entre 1982 y 1986, Cerf diseñó el MCI MAIL, primer servicio comercial de correo electrónico que se conectaría a Internet.
En 1992 fue uno de los fundadores de la Internet Society y su primer presidente.
Actualmente Vinton Cerf es el Chief Internet Evangelist de Google, ocupación que compagina con el cargo de presidente del ICANN.
HTLM
Vinton Cerf tambien inventó el HTML:
HTML, siglas de HyperText Markup Language (Lenguaje de Marcas de Hipertexto), es el lenguaje de marcado predominante para la construcción de páginas web. Es usado para describir la estructura y el contenido en forma de texto, así como para complementar el texto con objetos tales como imágenes. HTML se escribe en forma de "etiquetas", rodeadas por corchetes angulares(<,>). HTML también puede describir, hasta un cierto punto, la apariencia de un documento, y puede incluir un script (por ejemplo Javascript), el cual puede afectar el comportamiento de navegadores web y otros procesadores de HTML.
Timothy "Tim" John Berners-Lee
Sir Timothy "Tim" John Berners-Lee, OM, KBE (TimBL o TBL) nació el 8 de junio de 1955 en Londres, Reino Unido, se licenció en Física en 1976 en el Queen's College de la Universidad de Oxford. Es considerado como el padre de la web.
Básicamente, Tim, ante la necesidad de distribuir e intercambiar información acerca de sus investigaciones de una manera más efectiva, desarrolló las ideas que forman parte de la web. Tim y su grupo desarrollaron lo que por sus siglas en inglés se denominan: Lenguaje HTML (HyperText Markup Language) o lenguaje de etiquetas de hipertexto; el protocolo HTTP (HyperText Transfer Protocol); y el sistema de localización de objetos en la web URL (Uniform Resource Locator). Muchas de las ideas plasmadas por Berners-Lee podemos encontrarlas en el proyecto Xanadu que propuso Ted Nelson y el memex de Vannevar Bush
HTTP
Tim Berners-Lee invento el HTTP:
El protocolo de transferencia de hipertexto (HTTP, HyperText Transfer Protocol) es el protocolo usado en cada transacción de la Web (WWW). HTTP fue desarrollado por el consorcio W3C y la IETF, colaboración que culminó en 1999 con la publicación de una serie de RFC, siendo el más importante de ellos el RFC 2616, que especifica la versión 1.1.
HTTP define la sintaxis y la semántica que utilizan los elementos software de la arquitectura web (clientes, servidores, proxies) para comunicarse. Es un protocolo orientado a transacciones y sigue el esquema petición-respuesta entre un cliente y un servidor. Al cliente que efectúa la petición (un navegador o un spider) se lo conoce como "user agent" (agente del usuario). A la información transmitida se la llama recurso y se la identifica mediante un URL. Los recursos pueden ser archivos, el resultado de la ejecución de un programa, una consulta a una base de datos, la traducción automática de un documento, etc.
HTTP es un protocolo sin estado, es decir, que no guarda ninguna información sobre conexiones anteriores. El desarrollo de aplicaciones web necesita frecuentemente mantener estado. Para esto se usan las cookies, que es información que un servidor puede almacenar en el sistema cliente. Esto le permite a las aplicaciones web instituir la noción de "sesión", y también permite rastrear usuarios ya que las cookies pueden guardarse en el cliente por tiempo indeterminado.
TCP/IP
La familia de protocolos de Internet es un conjunto de protocolos de red en la que se basa Internet y que permiten la transmisión de datos entre redes de computadoras. En ocasiones se le denomina conjunto de protocolos TCP/IP, en referencia a los dos protocolos más importantes que la componen: Protocolo de Control de Transmisión (TCP) y Protocolo de Internet (IP), que fueron los dos primeros en definirse, y que son los más utilizados de la familia. Existen tantos protocolos en este conjunto que llegan a ser más de 100 diferentes, entre ellos se encuentra el popular HTTP (HyperText Transfer Protocol), que es el que se utiliza para acceder a las páginas web, además de otros como el ARP (Address Resolution Protocol) para la resolución de direcciones, el FTP (File Transfer Protocol) para transferencia de archivos, y el SMTP (Simple Mail Transfer Protocol) y el POP (Post Office Protocol) para correo electrónico, TELNET para acceder a equipos remotos, entre otros.
El TCP/IP es la base de Internet, y sirve para enlazar computadoras que utilizan diferentes sistemas operativos, incluyendo PC, minicomputadoras y computadoras centrales sobre redes de área local (LAN) y área extensa (WAN). TCP/IP fue desarrollado y demostrado por primera vez en 1972 por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, ejecutándolo en ARPANET, una red de área extensa de dicho departamento.

 

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